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经常通说有限元,什么是有限元呢

文章出处:admin 人气:195发表时间:2021-01-08 06:46:36

  问题描绘:有限元是那些调集在一起可以表明实践接连域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已发生并得到了使用,例如用多边形(有限个直线单元)迫临圆来求得圆的周长,但作为一种办法而被提出,则是最近的事。有限元法最
  回答:有限元是那些调集在一起可以表明实践接连域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已发生并得到了使用,例如用多边形(有限个直线单元)迫临圆来求得圆的周长,但作为一种办法而被提出,则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似办法,使用于航空器的结构强度核算,并因为其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研讨的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力,跟着核算机技术的快速发展和遍及,有限元办法迅速从结构工程强度剖析核算扩展到几乎一切的科学技术领域,成为一种五光十色、使用广泛并且实用高效的数值剖析办法。
  有限元办法与其他求解边值问题近似办法的根本差异在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初初次提出结构力学核算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”,即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满意整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似办法的原因之一。
  关于不同物理性质和数学模型的问题,有限元求解法的基本过程是相同的,仅仅具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本过程一般为:
  第一步:问题及求解域定义:依据实践问题近似确认求解域的物理性质和几何区域。
  第二步:求解域离散化:将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域,习惯上称为有限元网络区分。明显单元越小(网络越细)则离散域的近似程度越好,核算结果也越精确,但核算量及差错都将增大,因而求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
  第三步:确认状态变量及操控办法:一个具体的物理问题一般可以用一组包括问题状态变量边界条件的微分方程式表明,为合适有限元求解,一般将微分方程化为等价的泛函形式。
  第四步:单元推导:对单元结构一个合适的近似解,即推导有限单元的列式,其间包括选择合理的单元坐标系,树立单元试函数,以某种办法给出单元各状态变量的离散关系,然后构成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
  为保证问题求解的收敛性,单元推导有许多原则要遵循。 对工程使用而言,重要的是应留意每一种单元的解题性能与约束。例如,单元形状应以规则为好,畸形时不只精度低,并且有缺秩的危险,将导致无法求解。
  第五步:总装求解:将单元总装构成离散域的总矩阵方程(联合方程组),反映对近似求解域的离散域的要求,即单元函数的接连性要满意一定的接连条件。总装是在相邻单元结点进行,状态变量及其导数(或许的话)接连性树立在结点处。
  第六步:联立方程组求解和结果解说:有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。关于核算结果的质量,将经过与规划原则提供的允许值比较来评价并确认是否需要重复核算。
  简言之,有限元剖析可分红三个阶段,前处理、处理和后处理。前处理是树立有限元模型,完成单元网格区分;后处理则是收集处理剖析结果,使用户能简洁提取信息,了解核算结果。

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